统计假设测验------（五）卡平方测验

一、卡平方（ $\chi ^{2}$ ）测验定义和分布

$\chi ^{2}$ 是相互独立的多个正态离差平方值的总和。

$\chi ^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{i}^{2}+...+u_{n}^{2} =\sum_{i}^{n} u_{i}^{2}=\sum_{i}^{n}(\frac{y_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}})^{2}$

$y_{i}$ 服从真高分布N（ $\mu _{i}$ , $\sigma_{i}^{2}$ ）, $y_{i}$ 不一定来自同一个正态总体，即 $\mu _{i}$ ， $\sigma_{i}$ 可以是来自不同正态分布的参数。若研究对象属于同一个总体，则 $\mu _{i}$ = $\mu$ ， $\sigma_{i}^{2}$ = $\sigma^{2}$ 。所研究的总体 $\mu$ 不知时，用 $\bar{y}$ 替代。

$\chi ^{2}=\sum_{i}^{n}(\frac{y_{i}-\bar{y}}{\sigma})^{2} =\frac{1}{{\sigma}^{2}}\sum_{i}^{n}({y_{i}-\bar{y})^2} =\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}=\frac{\upsilon s^{2}}{\sigma ^{2}}$

这一分布的自由度为独立的正态离差的个数，此处v=n，其分布图形为一组具不同自由度v值的曲线。 $\chi ^{2}$ 值最小为0，最大为 $\infty$ ，因而在坐标轴的右面。自由度小时呈偏态，随着自由度增加，偏度降低，至+ $\infty$ 时，呈对称分布。该分布的平均数为v，方差为2v。

K.Pearson根据 $\chi ^{2}$ 的定义从属性性状的分布推到用于次数资料（计数资料）分析的 $\chi ^{2}$ 公式

$\chi ^{2}$ 是多项 $u_{i}^{2}$ 或（o-e）^2/e之和， $\chi ^{2}$ 具有可加性。

二、 $\chi ^{2}$ 在方差同质性测验中的应用

在连续性变数的分析中常用以方差的比较，并用以估计总体的方差 $\sigma ^{2}$ 。一个样本方差与总体方差的比较和二样本方差的比较可用F测验，多个样本间方差的比较须用 $\chi ^{2}$ 测验。

（1）一个样本方差与给定总体方差比较的假设测验

测验单个样本方差 $s^{2}$ 其所代表的总体方差和给定的总体方差值C是否有显著差异，简称一个样本与给定总体方差的比较。

两尾测验：H0： $\sigma ^{2}$ =C 显著大于和小于C的 $\chi ^{2}$ 值是> $\chi _{(\alpha /2),v}^{2}$ 和< $\chi _{(1-\alpha /2),v}^{2}$

一尾测验：测验样本总体方差是否大于给定总体方差C。H0： $\sigma ^{2}$ $\leq$ C，显著时 $\chi ^{2}$ 值是> $\chi _{(\alpha /2),v}^{2}$

从抽样分布可知，方差的抽样分布是不对称的。由卡方的定义 $\chi ^{2}$ = $\frac{\upsilon s^{2}}{\sigma ^{2}}$ ，应用 $\chi ^{2}$ 分布由样本 $s^{2}$ 给出总体 $\sigma ^{2}$ 的置信区间。

置信限是不对称的，即从L1到 $s^{2}$ 的距离不等于L2到 $s^{2}$ 的距离。可利用置信限做显著性测验，也可算出标准差的置信限。

一般n $\leq$ 30,单个样本方差用卡方分布来测验和推断置信区间

一般n>30,卡方分布近似对称，sqrt(2 $\chi ^{2}$ )-sqrt(2v-1)近似服从N（0,1）分布，可用u测验并进行区间估计

两样本间方差比较可用卡方测验，方法是对两个样本分别估计出其总体方差的置信区间，若两者不重叠便有显著差异，F测验更方便。

（2）几个样本方差的同质性测验

假定有3个及以上的样本，每一样本均可估得一方差，则由卡方可测验各样本方差是否来自相同方差总体的假设，这称为方差的同质性测验（test for homogeneity among variances）

H0: $\chi^{2}=\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}=\sigma_{i}^{2}=...=\sigma_{k}^{2}$ (k为样本数） $H_{A}$ : $\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\sigma_{i}^{2},...,\sigma_{k}^{2}$ 不全相等。这一测试方法由Bartlett式（1937）提出，是一种近似 $\chi ^{2}$ 测验。

上述的 $\chi ^{2}$ 值若不用C矫正，亦近似做 $\chi ^{2}$ 分布，不论矫正与否均具有v=k-1；若所得 $\chi ^{2}$ 值不显著，则不必再做矫正，接受无效假设； $\chi ^{2}$ 值接近 $\fn_phv \chi _{\alpha,v}^{2}$ ，应作矫正。 $\chi ^{2}$ > $\fn_phv \chi _{\alpha,v}^{2}$ ,否定原假设，表明这些样本所属总体方差不是同质的。