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逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的࿰c;故又称布尔代数。

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简介

　　 逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的࿰c;故又称 布尔代数。 　　当 逻辑代数的逻辑状态多于2种时（如0、1、2或更多状态时）࿰c;其通用模型的基本逻辑有2个。 　　一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑࿰c;是一个一元逻辑； 　　另外一种是两种状态中按照某种规则（比如比较大小）有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑࿰c;这是一个二元逻辑。 　　依据这两种逻辑࿰c;可以表达任意多状态的任意逻辑关系࿰c;即最小表达式。 　　即任意多状态的逻辑是完备的。 　　当逻辑状态数class="tags" href="/tags/KuoZhan.html" title=扩展>扩展有理数量级甚至更多。任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达：加减法和比较大小。 　　逻辑代数࿰c;亦称布尔代数࿰c;是英国数学家 乔治 布尔（George Boole）于1849年创立的。在当时࿰c;这种代数纯粹是一种数学class="tags" href="/tags/YouXi.html" title=游戏>游戏࿰c;自然没有物理意义࿰c;也没有现实意义。在其诞生100多年后才发现其应用和价值。

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逻辑代数中的几个概念

　　参与逻辑运算的变量叫逻辑变量࿰c;用字母A࿰c;B……表示。每个变量的取值非0 即1。 0、1不表示数的大小࿰c;而是代表两种不同的逻辑状态。 　　正、负逻辑规定： 　　正逻辑体制规定：高电平为逻辑1࿰c;低电平为逻辑0。 　　负逻辑体制规定：低电平为逻辑1࿰c;高电平为逻辑0。 　　逻辑函数：如果有若干个逻辑变量（如A、B、C、D）按与、或、非三种基本运算组合在一起࿰c;得到一个表达式L。对逻辑变量的任意一组取值（如0000、0001、0010）L有唯一的值与之对应࿰c;则称L为逻辑函数。逻辑变量A、B、C、D的逻辑函数记为：L=f(A、B、C、D)

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逻辑代数的基本规则

代入规则

　　任何一个含有变量 X 的等式࿰c;如果将所有出现 X 的位置࿰c;都代之以一个逻辑函数 F࿰c;此等式仍然成立。

对偶规则

　　设 F 是一个逻辑函数式࿰c;如果将 F 中的所有的 * 变成 +࿰c;+ 变成 *࿰c;0 变成 1࿰c;1 变成 0࿰c;而变量保持不变。那么就的得到了一个逻辑函数式 F'࿰c;这个 F' 就称为 F 的对偶式。如果两个逻辑函数 F 和 G 相等࿰c;则它们各自的对偶式 F' 和 G' 也相等。

反演规则

　　当已知一个逻辑函数 F࿰c;要求 ¬F 时࿰c;只要把 F 中的所有 * 变成 +࿰c;+ 变成 *࿰c;0 变成 1࿰c;1 变成 0࿰c;原变量变成反变量࿰c;反变量变成原变量࿰c;即得 ¬F。

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逻辑函数的标准形式

　　逻辑变量的逻辑与运算叫做与项࿰c;与项的逻辑或运算构成了逻辑函数的与或式࿰c;也叫做积之和式(SP form)。 　　逻辑变量的逻辑或运算叫做或项࿰c;或项的逻辑与运算构成了逻辑函数的或与式࿰c;也叫做和之积式(PS form)。

最小项

　　对于 n 个变量的逻辑函数而言࿰c;它的与项如果包含 n 个文字࿰c;即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次࿰c;那么这个与项就称为该逻辑函数的最小项。

最大项

　　对于 n 个变量的逻辑函数而言࿰c;它的或项如果包含 n 个文字࿰c;即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次࿰c;那么这个或项就称为该逻辑函数的最大项。

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逻辑函数的化简

　　运用逻辑代数的基本公式及规则可以对逻辑函数进行变换࿰c;从而得到表达式的最简形式。这里所谓的最简形式是指最简与或式或者是最简或与式࿰c;它们的判别标准有两条：(1)项数最少；(2)在项数最少的条件下࿰c;项内的文字最少。 　　卡诺图是遵循一定规律构成的。由于这些规律࿰c;使逻辑代数的许多特性在class="tags" href="/tags/TuXing.html" title=图形>图形上得到形象而直观的体现࿰c;从而使它成为公式证明、函数化简的有力class="tags" href="/tags/GongJu.html" title=工具>工具。

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其他

　　 逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数࿰c;是分析和设计 数字电路的数学class="tags" href="/tags/GongJu.html" title=工具>工具。在逻辑代数࿰c;只有０和１两种逻辑值࿰c; 有与、或、非三种基本 逻辑运算࿰c;还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。 　　 逻辑是指事物的因果关系࿰c;或者说条件和结果的关系࿰c;这些因果关系可以用逻辑运算来表示࿰c;也就是用逻辑代数来描述。事物往往存在两种对立的状态࿰c;在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ࿰c;称为逻辑0状态和逻辑1状态。 　　逻辑代数中的变量称为 逻辑变量࿰c;用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种࿰c;即逻辑0和逻辑1࿰c;0 和 1 称为逻辑常量࿰c;并不表示数量的大小࿰c;而是表示两种对立的逻辑状态。 　　逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的࿰c;故又称布尔代数。 　　当逻辑代数的逻辑状态多于2种时（如0、1、2或更多状态时）࿰c;其通用模型的基本逻辑有2个。 　　一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑࿰c;是一个一元逻辑； 　　另外一种是两种状态中按照某种规则（比如比较大小）有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑࿰c;这是一个二元逻辑。 　　依据这两种逻辑࿰c;可以表达任意多状态的任意逻辑关系࿰c;即最小表达式。 　　即任意多状态的逻辑是完备的。 　　当逻辑状态数class="tags" href="/tags/KuoZhan.html" title=扩展>扩展有理数量级甚至更多。任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达：加减法和比较大小。 　　逻辑代数࿰c;亦称布尔代数࿰c;是英国数学家乔治 布尔（George Boole）于1849年创立的。在当时࿰c;这种代数纯粹是一种数学class="tags" href="/tags/YouXi.html" title=游戏>游戏࿰c;自然没有物理意义࿰c;也没有现实意义。在其诞生100多年后才发现其应用和价值。 　　其规定： 　　1．所有可能出现的数只有0和1两个。 　　2．基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。 　　与运算（逻辑与、逻辑乘）定义为： 　　0·0＝0 0·1＝0 1·0＝0 1·1＝1 　　或运算（逻辑或、逻辑加）定义为： 　　0＋0＝0 0＋1＝1 1＋0＝1 1＋1＝1 　　至此布尔代数宣告诞生。 　　二、基本公式 　　如果用字母来代替数（字母的取值非0即1）࿰c;根据布尔定义的三种基本运算࿰c;我们马上可推出下列基本公式： 　　A·A＝A A＋A=A 　　A·0＝0 A＋0=A 　　A·1＝A A＋1=1 　　上述公式的证明可用穷举法。如果对字母变量所有可能的取值࿰c;等式两边始终相等࿰c;该公式即告成立。 　　 类代数 类代数是类逻辑的代数化。所谓类逻辑是从外延上理解的一阶一元谓词的逻辑。一元谓词的外延指称该谓词所适用的个体的类。由论域中所有个体组成的类叫全类࿰c;记作 1。不含有任何事物的类叫空类࿰c;记作0。考虑全类的所有子类࿰c;即包含于其中的类（包括1和0）࿰c;令ａ,ｂ,с,…为这样的类变元。由论域中不属于ａ类的个体组成的类叫做ａ的补࿰c;记作ａ'。由或属于ａ类或属于ｂ类的个体组成的类叫做ａ与ｂ的逻辑和（并类）,记作ａ∪ｂ。由既属于 a类又属于 b类的个体组成的类叫做ａ与ｂ的逻辑积（交类）࿰c;记作ａ∩ｂ࿰c;简记作ａｂ。如果ａ类与ｂ类所含的个体相同,则称ａ与ｂ等同,记作ａ=ｂ。ａ与ｂ不等同记作ａ≠ｂ。1和0是两个特定的类常元。',∪和∩是三种逻辑运算࿰c;分别叫类的取补、求和（加法）和求积（乘法）。此外࿰c;还可以通过定义引入包含于关系吇࿰c;例如把ａ吇ｂ定义为ａ∩ｂ' =0。于是自然有:对于任何类ａ,0吇ａ吇1。 　　在类代数中࿰c;不带有主词存在断定的直言命题ａAｂ、ａEｂ、ａIｂ和ａOｂ࿰c;可表示为ａ∩ｂ'=0、ａ∩ｂ=0、ａ∩ｂ≠0和ａ∩ｂ' ≠0。传统逻辑中三段论第1格 AAA式可表示为： 　　如果с∩ｂ' =0且ａ∩с' =0࿰c;则ａ∩ｂ' =0。第3格EIO式可表示为： 　　如果с∩ｂ=0且с∩ａ≠0࿰c;则ａ∩ｂ' ≠0。类代数的运算满足下表中列出的基本定律。 　　类代数的基本定律 　　幂等律　ａ∪ａ=ａ 　　ａ∩ａ=ａ 　　交换律　ａ∪ｂ=ｂ∪ａ 　　ａ∩ｂ=ｂ∩ａ 　　结合律　ａ∪(ｂ∪с)=(ａ∪ｂ)∪с 　　ａ∩(ｂ∩с)=(ａ∩ｂ)∩с 　　吸收律　ａ∪(ａ∩ｂ)=ａ 　　ａ∩(ａ∪ｂ)=ａ 　　分配律　ａ∪(ｂ∩с)=(ａ∪ｂ)∩(ａ∪с) 　　ａ∩(ｂ∪с)=(ａ∩ｂ)∪(ａ∩с) 　　幺元律　0∪ａ =ａ 　　0∩ａ =ａ 　　1∪ａ =1 　　0∩ａ =0 　　补余律　ａ∪ａ' =1 　　ａ∩ａ' =0 　　从这些定律出发࿰c;特别是只需以其中的交换律、分配律、前两个幺元律和补余律作为初始定律即公理࿰c;就可以推导出类逻辑的所有定律（定理）。类逻辑的内容比传统的三段论理论要丰富得多࿰c;大致相当于只包含一元谓词的一阶谓词逻辑（见谓词逻辑）。一般的谓词逻辑也可以用更进一步的代数方法处理࿰c;但已超出通常所谓的逻辑代数的范围。 　　 命题代数 命题代数在结构上与类代数完全相同。只要对类代数中的符号另作命题逻辑的解释࿰c;或者干脆改为相应的命题逻辑符号࿰c;就得到命题代数。即把类变元改为命题变元p,q,ｒ,…；改为否定词塡（“并非”）；∪改为析取词∨（“或者”）；∩改为合取词∨（“并且”）。1和0分别解释为特定的逻辑上真的命题和逻辑上假的命题,或称有效命题和矛盾命题;＝表示两命题逻辑上等值。这时࿰c;塡、∨和∧作为命题运算正好满足形式上与类代数的基本定律相对应的定律࿰c;而整个命题代数可包括命题逻辑的全部内容。命题代数和类代数可以有各种形式的公理系统࿰c;尤其是都可以有关于布尔展开式的定理࿰c;它相当于命题逻辑中的优析取范式和优合取范式的定理。 　　逻辑代数与命题代数有所不同。它还可以把1和0分别解释为命题的真和假,令变元只取1和0为值,即令其为二值的真值变元,并把塡、∨和∧解释为真值运算,从而得到一种提供命题真值运算定律的真值代数。而且࿰c;在二值的真值代数中特别可以有定理“p=1或p=0”࿰c;但在一般的命题代数和类代数中却没有与此相应的定理。